対数の微分の導き方

まあ、なんのことはない教科書にも書かれているようなことなのですが。
ふっと忘れてしまうことってよくあるんですよね。
そのくせ使用頻度はかなり多いんですから、おおやっかい!

ということで微分の定義のおさらいからちゃちゃっと確認してみましょう。

ことわりとして、logex について今回見るため、ごちゃごちゃしてしまう底を略記するために、lnx と書く事にします。
大学なんかでは底が入り乱れるような状況の数学はあんまりないので、むしろこっちの表記の方がよく現れます。

さて。
瞬間変化率の説明でおなじみの微分の極限の定義で、対数関数を考えますと、
2014-02-14 00.23.12.jpg
とりあえず極限へ詰め寄る前の、lim の中身をながめます。

対数どうしの差は中身の割り算になるルールがありましたのでまとめてしまいます。
対数関数の係数は中身の次数に持ってこれるルールも使って整頓。
2014-02-14 00.23.16.jpg
変数の置き換えを考えましょう。
1/x は係数のようなものだと思って、hをtに。
2014-02-14 00.23.20.jpg
あとはネイピア数の有名な公式を思い出してあげればOKですね。
2014-02-14 00.23.24.jpg

細かいことでは、1/xのゼロ割はどう排除しとくの? というツッコミも考えますが、
今回の場合ですと対数関数自体がゼロ近傍で負の無限大に発散しますんで、考慮するxはゼロでもなく途方もなく大きな数でもない、ほどほどの数である、と前置きしてから式展開を広げて最後に、望むならxを極限へ飛ばすという操作順序で良いと思います。

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タグ:対数 微分
posted by 衒家 at 13:02 | Comment(0) | 基本 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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