大きな数の桁数を知りたい。

よく出題される問題。
というより、この手の一見答えにくい、実用上の数学の問いに答えるための「対数」なんですよ!

ー問いー
 250は何桁の数であるか?

大雑把な概算で十分な場合でしたら、なんちゃってこういう推測ができます。

まず、210 = 1024 ≒ 1000 = 103 ということに注目。
ズレにはまぁ大雑把にということで目を瞑るとして、指数法則から、
 250 = ( 210 )5

と書き換えられますので、

 ( 210 )5
≒ ( 103 )5
= 1015

ですので、「おおよそ16桁」と答えることはできました。
でも数学的にしっかりとした答えを導くことは、解法とちょっとした数字を覚えていると比較的かんたんにできるので、ぜひやってみましょう!

ー答えー

早速、250という値について、底を10とする対数をとります。
(底を10とする対数はよく使うので"常用対数"とよんでいます)
すると、対数のルールから、肩の次数はlogの外に放り出せるので、
log10250
=50 log102 です。

ところで、log102 という数は、「10を" log102 "乗したら2になる数」という意味ですので、1よりも小さい数ですね。
( 101 = 10 ですから、 log102 が1より大きいと、10を" log102 "乗した数は10よりも大きい数になっていないといけないことになって矛盾しますもんね)
さらに√10 の値を見てみると、
 = √2 × √5 なので、≒ 1.4142 × 2.2362(ひとよひとよに × ふじさんろく、ですね)
 ≒ 1.5 × 2.2 = 3.3 ですね(おおよその値ですからね!)
で、2よりもこの√10 はまだ大きな数なので、(2 < √10 ≒ 3.3)
log102 は0.5よりも低い数とわかります。(log102 < log10√10 = 1/2)

このように少しずつ近づいて値を探っていってもいいのですが、ここはちょっと外知恵で数字を覚えてしまっていると良いでしょう。
 log102 = 0.301 ぐらいの数です。

やや本筋からズレてしまいましたが、この値を使って 250 の常用対数がどんな値か得られます。
つまり、 50 log102 = 50 × 0.301
= 15.05 ですね。

なんでこんなことをしてたのかと言うと、桁数が知りたかったからです。
数学の言葉で言えば、10の何乗になるのかが知りたかったのです。
100(3桁)ならば、100 = 102
1000(4桁)ならば、1000 = 103 と、10の何乗になるかがわかれば、+1すれば数の桁数もわかるのです。
つまりある数の常用対数をとって+1すれば、その数の桁数となるんです。
で、今回なら 250 の常用対数が15.05ですから、桁数は「16」と計算できました。

奇しくもなんちゃって推測で求めた桁数と一致しましたね!
「じゃあ桁数が知りたかったらなんちゃってで十分じゃん」とも思われますが、あちらはあくまで2の累乗だから使えた特殊な場合なのです。
これが例えば、182015 の桁数は? なーんてふざけた問題であっても使える「一般的な解法」の考え方を知ることが大事なんですね。
(ちなみに2530桁となるようです。10のあとにゼロが原稿用紙6枚分以上も連なるほどでっかい数字!)

それにもう一つ、常用対数から桁数を考えるといいことがあるのです。
それは「最高位の桁の数字が何なのかが計算できる」ことです!

「最高位の桁の数字」ってなんなのさ? と言われれば、文字通り「最も高い位の桁の数字」のことで。
500の最高位の桁の数字は5で、( = 5 × 102 )
65535の最高位の桁の数字は6で、( = 6.5535 × 104 )
250 の最高位の桁の数字は1で、( = 1.~ × 1015 )
182015 の最高位の桁の数字は2で、( = 2.~ × 102529 )

という「より詳しいその値」を調べることに対数は使えるのです。
今回は長くなりましたので、その具体的な方法はまた次の時にしたいと思います。

「対数」という普段の生活では聞き馴染みのない考え方も、かみしめてみれば面白く役に立つものですのでじっくりと掘り下げてみたいと思います。


タグ:対数 桁数 解法
posted by 衒家 at 23:50 | Comment(0) | 日記 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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